Analysis, Geometrische Strukturen und Mathematische Physik

In diesem Forschungsschwerpunkt entwickeln wir die miteinander verknüpften Methoden der algebraischen und enumerativen Geometrie, der geometrischen Darstellungstheorie, der Differentialgeometrie, der Funktionalanalysis, der geometrischen Variationsrechnung, der komplexen Analysis, der niedrigdimensionalen Topologie, der Spektraltheorie und der Theorien der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und dynamischen Systeme weiter. Wir wenden diese Methoden auf Probleme an, die von Strömungsmechanik und Geophysik bis hin zu Gravitationsphysik, Quantenphysik und Stringtheorie reichen.

Auf der algebraischen Seite konzentriert sich unsere Arbeit auf die höherdimensionale algebraische Geometrie und ihre Beziehungen zur Kombinatorik, Singularitätstheorie und Darstellungstheorie. So finden wir beispielsweise neue Wege zur Konstruktion von faserigen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, die in der Stringtheorie eine Schlüsselrolle spielen, oder geben algebraische Beschreibungen von Moduli-Räumen, die grundlegende Objekte in Feldtheorien sind. Wir verwenden Methoden der enumerativen Kombinatorik, um Verbindungen zwischen algebraischen Invarianten herzustellen, die auf scheinbar unverbundene Weise in der Kombinatorik, der niedrigdimensionalen Topologie, der algebraischen Geometrie oder der Quantenfeldtheorie auftreten.

Der Schwerpunkt unserer Arbeit in der komplexen Analysis sind die Eigenschaften von Räumen holomorpher Funktionen sowie CR-Geometrien. Wir verbinden Eigenschaften von Lösungen partieller Differentialgleichungen wie der CR-Gleichungen mit invarianten geometrischen Eigenschaften, um die Regelmäßigkeit und Eindeutigkeit ihrer Lösungen zu untersuchen, wobei wir Werkzeuge aus der Analysis mehrerer komplexer Variablen, der Funktionalanalysis und der algebraischen Geometrie verwenden.

Wir untersuchen geometrische Strukturen mit besonderem Schwerpunkt auf parabolischen Geometrien, zu denen konforme Strukturen, CR-Strukturen vom Hyperflächen-Typ und verschiedene Arten von generischen Verteilungen gehören. Werkzeuge aus der Differentialgeometrie und der Darstellungstheorie von halb-einfachen Lie-Algebren werden angewandt, um die Eigenschaften dieser Strukturen zu untersuchen und zugehörige Differentialoperatoren und Differentialkomplexe zu konstruieren. Die Anwendungen reichen von der allgemeinen Relativitätstheorie, der komplexen Analysis und der geometrischen Theorie der Differentialgleichungen bis hin zur numerischen Analysis.

In der mathematischen Physik untersuchen wir das asymptotische Verhalten von Lösungen bestimmter nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, die z. B. in der Yang-Mills-Theorie, der Kontinuumsmechanik, der kinetischen Theorie und der Quantenmechanik auftreten. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf der Untersuchung von dispersiven Effekten, sowohl im Zusammenhang mit der Singularitätsbildung als auch bei der Frage nach der Stabilität stationärer Konfigurationen. Dies führt zu natürlichen Verbindungen mit der Spektraltheorie, der komplexen Analysis, der nichtlinearen Funktionalanalysis und der harmonischen Analysis. Wir wenden auch nichtlineare partielle Differentialgleichungen und dynamische Systeme an, um Wellenphänomene in den Ozeanen oder der Atmosphäre zu modellieren, und untersuchen diese Modelle mit Hilfe neuer analytischer Erkenntnisse.

Wir untersuchen die Geometrie von Raumzeiten mit analytischen und synthetischen Ansätzen. Invarianten in der allgemeinen Relativitätstheorie werden auf der Ebene der Anfangsdaten für die Einstein-Gleichungen mit Methoden der geometrischen Variationsrechnung untersucht, wobei Verbindungen zu klassischen Ergebnissen und Problemen der Differentialgeometrie hergestellt werden.

Auf dem Gebiet der niedrigdimensionalen Topologie konzentriert sich unsere Forschung auf das Zusammenspiel zwischen Kontakttopologie, Quantenfeldtheorie und algebraischen Invarianten, die sich aus der Heegard-Floer-Homologie ergeben.