Abstract: A volume preserving dynamical systems with discrete or
continuous time on a compact smooth manifold M is said to exhibit
essential coexistence if M can be split into two invariant disjoint
Borel subsets A and B of positive volume -- the chaotic and regular
regions -- such that the Lyapunov exponents at every point in A are all
nonzero (except for the Lyapunov exponents in the flow direction in the
case of continuous time) while the Lyapunov exponents at every point in
B are all nonzero and the restriction of the system on the set A is
ergodic (Bernoulli).

There are two types of essential coexistence: type I, when the set A is
open (mod0) and dense and type II, when the set B is open.
I will discuss some general results, conjectures, and present some
examples of systems with both discrete and continuous time which exhibit
essential coexistence of type I. Finally, I will outline a construction
of a Hamiltonian flow with essential coexistence of type I (based on a
recent joint work with J. Chen, H. Hu, and Ke Zhang).