Aperiodic Order may be regarded as an extension of Symbolic Dynamics to
higher dimensions with added geometry. Instead of studying infinite
strings of symbols, one may also assign each symbol a length, for
example. In higher dimensions one considers infinite point patterns, or
tilings by tiles of a variety of shapes. The analogue of a shift of
finite type for tilings is a set of tiles with rules on their relative
placements in a valid tiling. One of the most enticing questions in this
area is the Monotile Problem: is there a single shape of tile in the
plane whose rigid motions may tile the plane, but only non-periodically?
Taylor and Socolar gave a satisfying answer to this question with a
certain marked hexagonal tile, although to enforce aperiodicity
restrictions are needed for neighbours as well as next nearest
neighbours of tiles, or alternatively a tile with disconnected interior
must be used. I will give an introductory overview of the field of
Aperiodic Order through examples, explaining the main constructions of
interesting non-periodic patterns. I will then explain recent work with
Mike Whittaker on a single aperiodic tile in the plane with edge-to-edge
matching rules. Unfortunately these rules cannot be enforced by shape
alone, since only symbols in certain orientations enforce matching
restrictions. However, the proof of aperiodicity turns out to be
remarkably simple and exploits a very different type of structure to
that used for the Taylor-Socolar tile. I will explain the proof of
aperiodicity of the tile and which valid tilings it permits.