Abstract: The realisation problem asks, given a property $P$ and a
class $C$ of dynamical systems, whether there is a member of $C$
exhibiting $P$. For example, the smooth realisation problem, inspired
by a remark of von Neumann (1932), asks: is every measure-preserving
system isomorphic to one given by a smooth diffeomorphism of a compact
manifold preserving a measure equivalent to the volume element?

I will discuss the following variant: which Choquet simplices arise as
spaces of invariant measures of minimal homeomorphisms on manifolds?
It turns out that, at least for some manifolds, there are no
restrictions on the structure of possible spaces of invariant
measures: if a manifold $M$ admits a strictly ergodic homeomorphism
and $K$ is any Choquet simplex, then $K$ is affinely homeomorphic to
the simplex of invariant probability measures of some minimal
homeomorphism on $M$.

This is joint work with Sejal Babel, Jernej Činč, Till Hauser, and
Piotr Oprocha.