Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie"

Diese Seite sammelt die wichtigsten Informationen aus dem Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie", vor allem über mögliche Themen für Bachelor-, Master- und Diplomarbeiten, für alle Studierenden der Mathematik. Anzumerken ist hier noch, dass auch im Schwerpunkt Algebra geometrische Themen eine Rolle spielen, vor allem im Bereich der algebraischen Geometrie und der geometrischen Gruppentheorie. Die Informationen sind nach (aktuellen) Studien geordnet, daneben findet sich eine Aufstellung möglicher BetreuerInnen, sowie eine Liste von Beispielen für Themen von Bachelor-, Diplom- und Masterarbeiten sowie von Dissertationen aus dem Bereich Geometrie und Topologie.

Unterrichtsfach Mathematik

Sowohl im alten Studienplan für das Lehramt (eigentlich ein Diplomstudium) als auch in der neuen Lehramtsausbildung (im Bachelor-/Masterstystem) ist ein gewisses Maß an (Elementar-)Geometrie enthalten, die Lehre in diesem Bereich ist aber weitgehend unabhängig vom Studienschwerpunkt "Geometrie und Topologie".  Geometrische Themen für Bachelor- sowie Diplom- bzw. Masterarbeiten sind aber natürlich möglich. Im Bachelorbereich bietet sich neben Elementargeometrie eventuell die klassische Differentialgeometrie von Kurven als Thema an. Im Diplom- und Masterbereich kommt auch noch die klassische Differentialgeometrie von Flächen als möglicher Themenbereich hinzu.

Bachelorstudium

Im Bachelorstudium Mathematik ist die Geometrie nicht durch Pflichtlehrveranstaltungen vertreten, Bezüge zu geometrischen Themen finden sich im Zyklus "Lineare Algebra und Geometrie" (Elementargeometrie) sowie in der Lehrveranstaltung "Höhere Analysis und elementare Differentialgeometrie". Im gleichen Modul wie die letztgenannte Vorlesung findet sich auch die Lehrveranstaltung "Grundbegriffe der Topologie", die der Punktmengentopologie gewidmet ist. Hier liegt der Schwerpunkt aber weniger auf Topologie als eigenständiges Gebiet, sondern mehr auf Begriffe und Methoden, die in anderen Bereichen der Mathematik Anwendung finden. Aus dem Bereich der Geometrie gibt es (im ab WS2015/16 gültigen Bachelorcurriculum) zwei Wahlmodule:

  • Im Wahlmodul Klassische Differentialgeometrie werden Methoden der mehrdimensionalen Differentialrechnung auf Fragestellungen der Geometrie von Kurven und Flächen angewandt. Im Mittelpunkt stehen ein grundlagendes Verständnis für geometrische Fragestellungen sowie verschiedene Begriffe von Krümmung.
  • Das Wahlmodul Berufsorientierte Mathematik: Algorithmische Geometrie ist der sogenannten "computational geometry" gewidmet. Hier geht es um konkrete, algorithmische Lösung von Problemen mit geometrischem Charakter, bis hin zur Implementierung solcher Lösungen auf dem Computer.

Es gibt eine Fülle an möglichen Themen für Bachelorarbeiten sowohl aus dem Bereich der Geometrie als auch über Topologie. In der Topologie gibt es ein breites Spektrum an Themen aus der Punktmengentopologie, die unmittelbar an die üblichen Inhalte der "Grundbegriffe der Topologie" anschließen. Im Bereich der Geometrie bieten sich vor allem Themen aus der Elementargeometrie (oft mit Bezügen zu linearer Algebra), der klassischen Differentialgeometrie und der algorithmischen Geometrie an, wobei sowohl Themen möglich sind, die auf die Wahlmodule aufbauen, als auch davon unabhängige Themen.

Masterstudium

Im Masterstudium ist "Geometrie und Topologie" einer von 7 Studienschwerpunkten. Die Struktur unseres Mastercurriculums ist so gestaltet, dass einer dieser 7 Schwerpunkte gewählt werden muss. Der gewählte Schwerpunkt muss aber nicht bekannt gegeben werden, sondern ergibt sich aus der Absolvierung der Pflichtmodulgruppe "Standardausbildung im Studienschwerpunkt ...". In den weiteren Modulen des Masterstudiums wird dann zwischen "Lehrveranstaltungen aus dem gewählten Schwerpunkt" und "Lehrveranstaltungen aus anderen Schwerpunkten" unterschieden.

Die Standardausbildung im Studienschwerpunkt Geometrie und Topologie besteht aus 4 Pflichtmodulen:

  • Im Modul Differentialgeometrie werden zunächst in der Lehrveranstaltung "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" die aus den Grundvorlesungen bekannten Methoden der mehrdimensionalen Differential- und Integralrechnung von offenen Teilmengen in Rn auf allgemeinere Objekte, sogenannte Mannigfaltigkeiten erweitert. Der Fokus liegt hierbei auf Operationen, die unabhängig von der Wahl von Koordinaten definiert werden können, womit die Analysis eine geometrische Perspektive erhält. Diese Lehrveranstaltung ist für alle Studierenden im Masterstudium zugänglich. Den zweiten Teil des Moduls bildet die unmittelbar anschließende Lehrveranstaltung "Riemann'sche Geometrie", in der die analytischen Methoden auf geometrische Probleme angewandt werden.
  • Das Modul Lie Gruppen baut auf die Analysis auf Mannigfaltigkeiten auf und sollte jedenfalls nach dieser (und nach Möglichkeit unmittelbar nach dieser) absolviert werden. Hier findet eine Verbindung von Differentialgeometrie und Algebra statt, die vor allem im Studium von Symmetrien Anwendungen findet.
  • Das Modul Algebraische Topologie ist unabhängig von den beiden vorangegangenen Modulen und somit wiede für alle Studierenden im Masterstudium zugänglich. Hier geht es darum, topologischen Räumen algebraische Objekte (Zahlen, Gruppen, Vektorräume, etc.) zuzuordnen und sie dadurch unterscheidbar zu machen.
  • Im Modul "Seminare: Geometrie und Topologie" ist einerseits das Proseminar zu einer der Lehrveranstaltungen "Analysis auf Mannigfaltigkeiten", "Lie Gruppen" und "Algebraische Topologie" zu absolvieren (weitere Proseminare sind als Vertiefungslehrveranstaltungen anrechenbar, ein Besuch ist jedenfalls sehr zu empfehlen). Andererseits wird der Besuch von zwei Seminaren verlangt. Das Angebot an Seminaren im Bereich Geometrie und Topologie ist begrenzt, eine Abstimmung der Seminare auf das Gebiet der Masterarbeit kann günstig sein, ist aber nicht vorgeschrieben und wird auch oft nicht möglich sein.

Das Angebot an Vertiefungslehrveranstaltungen für das Masterstudium ist eng an die Forschungsinteressen der in diesem Gebiet tätigen Fakultätsmitglieder gekoppelt und durch budgetäre Einschränkungen begrenzt. Abgesehen von Differentialgeometrie und Topologie sind auch Bezüge zu Funktionalanalysis (undendlichdimensionale Differentialgeometrie, Algebren verallgemeinerter Funktionen, partielle Differentialgleichungen geometrischen Ursprungs), Algebra (Lie Gruppen, Lie Algebren und Darstellungstheorie, algebraische Geometrie) und theoretischer Physik (allgemeine Relativitätstheorie) Thema von Vertiefungslehrveranstaltungen.

Auch bei der Frage von Themen für Masterarbeiten spielen die Forschungsinteressen der Fakultätsmitglieder eine wichtige Rolle. Es ist auf jeden Fall günstig mit den Überlegungen zu möglichen Themen und Betreuerin oder Betreuer frühzeitig im Verlauf des Masterstudiums zu beginnen. (Die 4 Semester Regelstudiendauer sind kurz.) Bei der Suche nach Thema und Betreuerin oder Betreuer sollte auch schon in Betracht gezogen werden, ob ein auf die Masterarbeit aufbauendes Doktoratsstudium geplant ist. In diesem Fall ist die Wahl des Themas heikler und der Konnex zur Forschung muss stärker sein. Ansonsten ist ein breiterer Rahmen von Themen möglich.

Doktoratsstudium

Wie an der Fakultät üblich gibt es auch im Bereich der Geometrie und Topologie keine wirkliche Unterscheidung zwischen Vertiefungslehrveranstaltungen für das Masterstudium und Lehrveranstaltungen für das Doktoratsstudium. Die Anrechenbarkeit von Lehrveranstaltungen für das Doktoratsstudium wird individuell im Rahmen der Dissertationsvereinbarung festgelegt, insbesondere spielt es für die Frage der Anrechenbarkeit keine Rolle, ob einer Lehrveranstaltung mit einer Lehrveranstaltungsnummer der Mathematik (25XXXX) oder der Studienprogrammleitung für das Doktorat (44XXXX) angekündigt wird. Allgemeine Informationen zum Doktoratsstudium finden sich auf den Webseiten des SSC Mathematik und des DoktorandInnenzentrums der Universität Wien.

Bei der Wahl von Thema und BetreuerIn spielen die Forschungsinteressen der einzelnen Fakultätsmitglieder eine noch wesentlich stärkere Rolle als im Masterbereich. Dissertationsthemen betreffen meist das (mehr oder weniger) umittelbare Forschungsgebiet des Betreuers oder der Betreuerin. Es macht daher kaum Sinn, hier globale Informationen zu diesen Fragen anzuführen. Es sei nur kurz bemerkt, dass an unserer Fakultät kaum Forschung über Topologie betrieben wird, es gibt aber durchaus topologische Aspekte in weiten Bereichen der Differentialgeometrie. Ansonsten ist hier primär auf die Webseiten der einzelnen Fakultätsmitglieder zu verweisen, auf denen sich Informationen zu den Forschungsinteressen finden.

Betreuer für Diplom- und Masterarbeiten und Dissertationen