Studienschwerpunkt "Angewandte Mathematik und Scientific Computing"

Hier präsentieren wir den Studienschwerpunkt „Angewandte Mathematik und Scientific Computing“, der den Großteil des Angebots über angewandte Mathematik enthält. Inkludiert sind Hinweise auf Themen, die für Bachelor- und Masterarbeiten für Studentinnen und Studenten der mathematischen Fächer in Betracht kommen. Fast alle dieser Themen haben einen direkten Bezug zu einer Anwendung aus der Realwelt und decken meist mehrere Themenbereiche der Mathematik ab. Oft werden Computerprogramme zur Lösung der Probleme herangezogen und im Verlauf der Arbeit selbst erstellt. Dies macht Absolventen und Absolventinnen dieses Studienschwerpunkts besonders interessant für viele Industriebetriebe. Die Informationen werden geordnet nach den jeweiligen Studien angeboten.

Unterrichtsfach Mathematik

Eines der Pflichtmodule im Studienplan für das Bachelorstudium zum Unterrichtsfach Mathematik ist die „Angewandte Mathematik“. Dort erlernt man, wie, ausgehend von Anwendungsproblemen aus der Realwelt, die oft nur verbal formuliert sind, mathematische Beschreibungen (mathematische Modelle) erstellt werden können, die dann als Ausgangspunkt für (näherungsweise) Lösungsberechnungen und qualitative Analysen dienen. Die berechneten Ergebnisse und gewonnenen Erkenntnisse werden dann aus dem mathematischen Modell wieder in die Sprache des Anwenders rückübersetzt.

Die angewandte Mathematik bietet dadurch Stoff, der auch im Unterricht in AHS und BHS als Motivation für bestimmte mathematische Themenbereiche dienen kann. Dieser wichtige Teil der Schulmathematik wird im Pflichtmodul des Masterstudiums „Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht“ vermittelt.

Sowohl im Bachelor- wie auch im Masterteil des Lehramtsstudiums sind aus dem Gebiet der angewandten Mathematik verschiedenste Themen für Abschlussarbeiten verfügbar.

Bachelorstudium

Im Bachelorstudium Mathematik erscheint die angewandte Mathematik zunächst im Pflichtmodul „Numerische Mathematik“, in dem auch die Grundlage der mathematischen Modellierung erarbeitet wird. Danach findet sie sich vorwiegend im mathematischen Wahlfach in den Wahlmodulen „Berufsorientierte Mathematik: XXX“, in deren Rahmen unter anderem Einführungen in Finanzmathematik, Statistik, Graphentheorie und diskrete Optimierung, lineare und glatte Optimierung, Biomathematik und Spieltheorie, algorithmische Geometrie (Grundlagen des CAD), Kryptographie, mathematische Modellierung, Numerik von Differentialgleichungen angeboten werden. Angewandte Mathematik ist ein sehr weites Gebiet und verwendet den Großteil der übrigen Lehrveranstaltungen als direkte Grundlage und kombiniert oft das Wissen aus mehreren mathematischen Teilgebieten – abhängig von der vorliegenden Anwendung.

  • Im Pflichtmodul „Numerische Mathematik“ werde die grundlegenden Techniken zur computergestützten Lösung mathematischer Probleme aus den Bereichen der linearen Algebra und Analysis vermittelt. Ein wichtiger Aspekt der Betrachtung ist dabei die korrekte Behandlung von Rundungsfehlern, die unberücksichtigt die Ergebnisse numerischer Berechnungen unbrauchbar machen können. Weitere abgedeckte Themenbereiche sind das Lösen linearer Gleichungssysteme, von Kleinste-Quadrate-Problemen, Singulärwertzerlegung, Interpolation, die Lösung nichlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme, Optimierung ohne Nebenbedingungen, die approximative Berechnung bestimmter Integrale, numerische Differentiation und die grundlegenden Verfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.
  • Die Wahlmodule „Berufsorientierte Mathematik“ bieten einen ersten Einblick in verschiedene Anwendungen, wie sie ein Mathematiker im späteren Berufsleben antrifft:
    • Finanzmathematik: In diesem Modul wird ein grundlegendes Verständnis für die Anwendungen mathematischer und insbesondere stochastischer Methoden auf ökonomische Fragestellungen vermittelt. Dabei werden finanzmathematische Themenbereiche wie Binomial-Modell, europäische und amerikanische Optionen, Random Walk, Zins-Modelle, Fremdwährungsmodelle und die Black-Scholes-Formel behandelt.
    • Stochastik: Als Fortsetzung der Wahrscheinlichkeitstheorie werden wichtige Anwendungen wie Irrfahrten, Extremwerttheorie, große Abweichungen, Warteschlangentheorie und zufällige Graphen behandelt.
    • Angewandte Statistik: In diesem Modul werden Möglichkeiten und Grenzen statistischer Methoden aufgezeigt, sowie die praktische Verwendung statistischer Standardsoftware vermittelt.
    • Graphentheorie und diskrete Optimierung: Hier werden Methoden der diskreten Mathematik in diversen Anwendungsgebieten vermittelt. Dabei werden graphentheoretische Konzepte wie Matchings, Zusammenhang, Flüsse, Färbungen, Planarität, Zufallsgraphen, etc. abgehandelt, und es wird auf die Optimierung in Graphen und anderen diskreten Strukturen eingegangen.
    • Optimierung: Dieses Modul bietet eine Einführung in und ein grundlegendes Verständnis für die Rolle von glatten Optimierungsproblemen in verschiedenen Anwendungsgebieten der Mathematik. Es werden Lösungsmethoden für solche Probleme vermittelt. Die Studierenden lernen dabei die Klassifikation von Optimierungsproblemen, Modellierungssprachen in der Optimierung (z.B. AMPL, CVX, GAMS, NEOS, etc.), Optimierungssoftware und deren Verwendung kennen. Außerdem werden das Simplex-Verfahren zur linearen Optimierung, heuristische Verfahren zur Lösung von MINLPs und Black-Box-Optimierung vorgestellt.
    • Biomathematik und Spieltheorie: In diesem Wahlmodul steht die Behandlung ausgewählter Konzepte und Modelle der Biomathematik (z.B. Evolutionstheorie, Genetik, Ökologie, Epidemiologie,Systembiologie) und/oder der Spieltheorie (z.B. Gefangenendilemma, Nullsummenspiele und MiniMax, Nashgleichgewicht, evolutionäre Spieltheorie) im Zentrum.
    • Algorithmische Geometrie: Dieses Modul behandelt ausgewählte Probleme und Lösungsansätze aus dem Gebiet der algorithmischen Geometrie (computational geometry), wie sie auch in modernen CAD-Systemen zum Einsatz kommen.
    • Kryptographie: Im Rahmen dieses Wahlmoduls entwickeln die Studierenden ein grundlegendes Verständnis für die Rolle algebraischer Methoden in Anwendungsproblemen aus dem Bereich der Verschlüsselungs- und Codierungstheorie. Dabei werden Komplexitätstheorie, verschiedene Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen, Diffie-Hellman-, RSA- und ElGamal-Verfahren besprochen. Auch Kryptoanalyse ist ein wichtiger Themenbereich.
    • Mathematische Modellierung: Im Rahmen dieses Moduls lernen die Studierenden die Mathematik in ihrer Rolle als Modellierungssprache für ausgewählte Anwendungen kennen. Das geschieht anhand konkreter Beispiele aus den Natur-, Wirtschafts-, oder Sozialwissenschaften, sowie aus Technologie oder Industrie. Die verschiedenen Einflüsse auf den Modellierungsprozess (Verständnis des Problems, Kenntnis der Fakten und Daten, mathematische Formulierung des Problems, mathematische und numerische Analyse, Interpretation der Resultate) werden beleuchtet. Die Fähigkeit zur Umsetzung konkreter Probleme aus Wissenschaft oder Technik in mathematische Modelle wird gefördert und vertieft.
    • Numerische Methoden für Differentialgleichungen: Hier erlernen die Studierenden wichtigen Methoden zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Ferner werden Anwendungsmöglichkeiten aufgezeigt.

Durch die große Breite des Themenbereichs ergibt sich eine große Menge an möglichen Themen für Bachelor- und Masterarbeiten aus den verschiedensten Anwendungen. Diese sind meist auch gutes Material für spätere Bewerbungen in Industriebetrieben und Finanzinstitutionen.

Masterstudium

Im Masterstudium ist „Angewandte Mathematik und Scientific Computing“ einer der sieben möglichen Studienschwerpunkte. Die Struktur unseres Mastercurriculums ist so gestaltet, dass einer dieser sieben Schwerpunkte gewählt werden muss. Dabei muss er nicht explizit bekannt gegeben werden, sondern ergibt sich aus der Absolvierung der Pflichtmodulgruppe „Standardausbildung im Studienschwerpunkt ...“. In den weiteren Modulen des Masterstudiums wird dann zwischen „Lehrveranstaltungen aus dem gewählten Schwerpunkt“ und „Lehrveranstaltungen aus anderen Schwerpunkten“ unterschieden.

Die Standardausbildung im Studienschwerpunkt „Angewandte Mathematik und Scientific Computing“ besteht aus vier Pflichtmodulen:

  • Im Modul „Numerische Mathematik“ werden die Methoden aus dem Bachelorstudium erweitert und ergänzt. Dabei stehen die Lösung großer linearer Gleichungssysteme, Eigenwertaufgaben, mehrdimensionale Integration, Monte-Carlo-Verfahren, und die Grundlagen der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen im Mittelpunkt. Augenmerk wird dabei auf die tatsächliche Implementierung von Algorithmen in Computersystemen gelegt.
  • Das Pflichtmodul „Angewandte Analysis“ bietet eine Einführung in ein oder zwei wichtige Teilgebiete der Analysis (wie Differentialgleichungen, Fourieranalysis, asymptotische Analysis, etc.) unter besonderer Bezugnahme auf deren Anwendung auf Probleme der Naturwissenschaften.
  • Im Modul „Optimierung und Variationsrechnung“ werden die theoretischen und praktischen Grundlagen der Lösung von Optimierungsproblemen im Endlich- und Unendlichdimensionalen erarbeitet. Ein Aspekt ist dabei auch die Verwendung der Verfahren zur Lösung von Problemen aus der Wirtschaft und den Naturwissenschaften.
  • Im Modul „Seminare: Angewandte Mathematik und Scientific Computing“ sind ein Seminar und ein Projektseminar aus den Bereichen Angewandte Mathematik, Bild- und Signalverarbeitung, Mathematische Modellierung, Numerische Mathematik oder Optimierung zu absolvieren. Üblicherweise ist das Seminar eher theoretisch orientiert, während das Projektseminar meist die Entwicklung von Computerprogrammen miteinbezieht.

Das Angebot an Vertiefungslehrveranstaltungen für das Masterstudium ist eng an die Forschungsinteressen der in diesem Gebiet tätigen Fakultätsmitglieder gekoppelt. Es umfasst Lehrveranstaltungen aus den Gebieten gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, dynamische Systeme, mathematische Modellierung, harmonische Analysis, Optimierung, Variationsrechnung, Bild- und Signalverarbeitung, numerische Mathematik, Scientific Computing, etc.

Zu jedem Thema der Pflichtmodule gibt es Forschungsgruppen, die eine solide Basis für die Betreuung von Masterarbeiten bieten. Es ist auf jeden Fall günstig, mit den Überlegungen zu möglichen Themen und Betreuerin oder Betreuer frühzeitig im Verlauf des Masterstudiums zu beginnen. (Die vier Semester Regelstudiendauer sind kurz.) Bei der Suche nach Thema und Betreuerin oder Betreuer sollte auch schon in Betracht gezogen werden, ob ein auf die Masterarbeit aufbauendes Doktoratsstudium geplant ist.

Doktoratsstudium

Wie an der Fakultät üblich gibt es auch im Bereich der Angewandten Mathematik und des Scientific Computing keine wirkliche Unterscheidung zwischen Vertiefungslehrveranstaltungen für das Masterstudium und Lehrveranstaltungen für das Doktoratsstudium. Es wird eine Vielzahl von Spezialvorlesungen und Seminaren aus den Gebieten der Angewandten Mathematik und des Scientific Computing geboten. Die Anrechenbarkeit von Lehrveranstaltungen für das Doktoratsstudium wird individuell im Rahmen der Dissertationsvereinbarung festgelegt, insbesondere spielt es für die Frage der Anrechenbarkeit keine Rolle, ob einer Lehrveranstaltung mit einer Lehrveranstaltungsnummer der Mathematik (25XXXX) oder der Studienprogrammleitung für das Doktorat (44XXXX) angekündigt wird. Allgemeine Informationen zum Doktoratsstudium finden sich auf den Webseiten des SSC Mathematik und des DoktorandInnenzentrums der Universität Wien.

Bei der Wahl von Thema und BetreuerIn spielen die Forschungsinteressen der einzelnen Fakultätsmitglieder eine noch wesentlich stärkere Rolle als im Masterbereich. Dissertationsthemen betreffen meist das (mehr oder weniger) unmittelbare Forschungsgebiet des Betreuers oder der Betreuerin. Es macht daher kaum Sinn, hier globale Informationen zu diesen Fragen anzuführen. Es sei erwähnt, dass an unserer Fakultät viele Forschungsgruppen auf dem Gebiet der angewandten Mathematik und des Scientific Computing tätig sind, und auch einiges an Drittmitteln für die Finanzierung von Doktoratsstudien angeboten werden kann.

Es ist extrem wichtig, dass Sie sich vor Beginn eines Doktoratsstudiums mit einem potentiellen Betreuer oder einer potentiellen Betreuerin treffen und eine mögliche Betreuung besprechen. Es ist nicht sinnvoll, zuerst mit dem Studium zu beginnen und erst danach eine Betreuung zu suchen.